Resumo
Este trabalho relata uma experiência em sala de aula, na primeira série do
ensino médio, de uma escola pública do estado do Paraná. Utilizou-se de
uma temática motivadora, trazendo os conteúdos de trigonometria com
enfoque na história da matemática, os quais foram objeto de pesquisa no
Plano de Trabalho PDE/2007
. Fez-se uso desse instrumento para propiciar a
contextualização e a interdisciplinaridade entre a Matemática e demais
disciplinas e, dessa forma, auxiliar na motivação para aprendizagem dos
conteúdos apresentados. Importantes nomes da Matemática surgiram no
contexto da história da trigonometria, evidenciando o beneficio que as
invenções, os postulados e os teoremas proporcionaram para os povos das
diferentes épocas. Na atualidade, é imprescindível conhecer-se a história da
matemática para melhor compreender os conceitos e também possibilitar a
sua utilização em sala de aula, como recurso pedagógico.
1
Professora do ensino fundamental e médio da rede estadual do Paraná, Licenciada em
Ciências/hab. Matemática pela FUNESP, Pato Branco, PR.
2
Professor de Departamento de Matemática da UNICENTRO, Guarapuava/PR, Doutor em
Educação Matemática pela UNESP, Rio Claro/SP.
3
Programa de Desenvolvimento Educacional da Secretaria de Estado da Educação -
SEED/PR.
Palavras-chave:
História da Matemática. Trigonometria. História da trigonometria. Ensino de
trigonometria.
Resume
This work relates an experience which had taken place in the first grade of
public high school in Parana State, south of Brazil. An motivating thematic
has been used, bringing up the contents of trigonometry emphasized on the
history of mathematics, which was the research object in the work plan PDE/
2007³. As an instrument, this project was used to provide the
contextualization and the interdisciplinarity involving math and other
disciplines, in this way increasing the motivation over the presented
contents. Important names in the mathematical area came up from the
trigonometry context, making evident the benefits either inventions or
theories had propitiated to the people from different ages. Nowadays is
essential to know the history of mathematics for a better understanding of
these concepts and also make possible the use of them as a pedagogical
resource in classroom.
Key-Words:
History of Mathematics. Trigonometry. History of trigonometry. Teaching of
trigonometry.
Introdução
Este texto surgiu após se verificar a pouca motivação dos
aprendentes no ensino da matemática, especialmente no conteúdo referente
à trigonometria. Diante disso buscaram-se diferentes maneiras de se motivar
o aluno. A história da matemática se configura como uma alternativa para a
contextualização, a motivação e também possibilita a interdisciplinaridade
que as DCE-PR
prevêem para a formação escolar do educando. Segundo
essas diretrizes “os saberes escolares devem ser apresentados aos alunos
sob um ponto de vista questionador, contextualizados, numa perspectiva
interdisciplinar, quebrando a rigidez que a legitimidade social atribui a eles”.
(p.04)
Em razão disso optou-se pela história da matemática que de acordo
com D’Ambrosio (1996) “... não é necessário que o professor seja um
especialista para introduzir história da matemática em seus cursos. [...] Basta
colocar aqui e ali algumas reflexões. Isto pode gerar muito interesse nas
aulas de matemática”. (p.13)
Como justificar essa escolha? Por que escolher o tema “trigonometria”
e especialmente a história da trigonometria? Buscando-se respostas a tantas
indagações feitas pelos alunos e até pelos colegas professores do por que
ensinar e/ou aprender trigonometria, é que, optou-se por estudar e analisar
esta tendência da Educação Matemática sugerida pelas diretrizes, aplicandoa em sala de aula como estratégia para desenvolver o assunto.
Nos dias atuais, lida-se com quantidades numéricas expressivas,
gráficos indicando comportamento de fenômenos econômicos, biológicos,
sociais e políticos, o que revela, segundo alguns analistas, a tendência das
ciências se matematizarem. Ocorre também uma maior facilidade de
informações fornecidas por meios de comunicação, internet ou outras fontes.
Estes conhecimentos são repassados aos alunos de forma livre, sem critérios,
4
Diretrizes Curriculares da Rede Pública de Educação Básica do Estado do Paraná
proporcionando um excesso de informações muitas vezes sem utilidade real,
o que pode causar apatia e consequentemente desinteresse ao conteúdo
escolar. E é nesse contexto social e econômico que a escola pública está
inserida, precisando sobreviver em meio a essas tribulações e desinteresse
dos aprendentes e algumas vezes até do corpo docente. Candau (l996, p.
149) relata isso quando se refere aos ciclos da carreira do professor: “A
rotina do dia-a-dia de sala de aula emerge e acentuam-se os desencantos
ante os fracassos.”.
Apesar desses interesses contraditórios, na qual se apresentam
escola, aluno e sociedade, o professor busca trabalhar os conteúdos, porém
muitos estão desvinculados da realidade e isto faz com que os alunos percam
ou nem despertem a vontade e a necessidade de aprender.
A situação acima descrita torna-se claramente perceptível quando
observadas as avaliações feitas sobre determinados conteúdos, dentre eles a
Trigonometria. Esse desinteresse e a desmotivação dos alunos e também dos
professores, ocorrem muitas vezes pela falta de materiais pedagógicos,
tecnológicos e de pesquisa que poderiam contribuir e dar suporte ao
professor e ao aluno para melhor desenvolver os conhecimentos relativos à
Trigonometria.
Dentro da nova tendência da educação pública paranaense, busca-se
um espaço real em se possa resgatar a história da trigonometria na sala de
aula. De maneira prática inseri-la nos conteúdos, de forma a propiciar a
contextualização e a integração da Matemática com outras disciplinas e
também sugerir uma estratégia de motivação das aulas.
Parece, portanto, oportuno relatar-se neste espaço o estudo e a
aplicação em sala de aula de um material didático envolvendo a história da
matemática e, paralelamente, a história da trigonometria. O conteúdo
estruturante, grandezas e medidas, previsto pela DCE-PR, relaciona a
Trigonometria como um dos saberes escolares que o aluno deve se apropriar
no ensino básico. Em razão disso, a Trigonometria, que foi o foco do estudo
realizado nas primeiras séries do Ensino Médio, contemplando uma das
atividades de implementação na escola, no trabalho de conclusão do PDE ,
foi apresentada aos alunos com enfoque histórico.
O OBJETO DE ESTUDO
O presente objeto de estudo surgiu da reflexão sobre a situação atual
do ensino da trigonometria e a possibilidade de se utilizar a história da
matemática como estratégia de contextualização.
A aquisição do conhecimento científico por meio da história da
trigonometria possibilita o uso de diferentes recursos, fazendo um elo,
sempre que possível, com outras disciplinas. Sob este aspecto, proporcionase maior interesse pelo conteúdo, incentiva-se o aprendente a ter o gosto
pela matemática e oportuniza-se a quebra de tabus sobre a Matemática, que
muitas vezes é considerada isolada, endeusada e acessível apenas a uma
elite e raramente é considerada como uma atividade humana em construção.
De acordo com as DCE (2006, p. 25-26):
A prática docente não deve ser autoritária. O ensino da
Matemática trata a construção do conhecimento matemático sob
uma visão histórica, de modo que os conceitos são apresentados,
discutidos, construídos e reconstruídos e também influenciam na
formação do pensamento humano e na produção de sua
existência por meio das idéias e das tecnologias.
Nessa perspectiva cabe então, ao professor, ser um articulador da
teoria e da prática, na medida em que, ao utilizar os conhecimentos, consiga
fazer uma articulação entre história da matemática, e a trigonometria e
assim orientar o educando a ir além do conhecimento empírico, partindo
para o conhecimento elaborado, científico e perceber que esse tema tem
uma história própria.
Programa de desenvolvimento Educacional do estado do Paraná.
História da trigonometria como recurso pedagógico
A história da matemática proporciona ao professor uma alternativa
para sua prática pedagógica, visto que possibilita articular ao processo
pedagógico,–aqui entendido como todas as etapas de aprendizagem e ensino
envolvidas na educação- a visão de mundo do estudante, opções de atitudes
a serem tomadas nas diferentes situações, bem como mudanças na história
do cotidiano do aluno.
Nesse sentido, a tendência educacional histórico-crítica, entende a
matemática como um saber vivo, portanto dinâmico. Essa visão de educação
está presente nas diretrizes educacionais do Paraná. Segundo a DCE_PR na
tendência histórico-crítica observa-se que: “a aprendizagem da Matemática
não consiste apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver
problemas [...] mas criar estratégias que possibilitem ao aluno atribuir
sentido e construir significados às idéias matemáticas de modo a tornar-se
capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar”. (DCE-PR,
p. 21)
Mas onde se encontra a Matemática? De acordo com Davis e Hersh
(1989) a matemática existe e tem sido uma atividade humana por milhares
de anos. Em primeiro lugar ela existe na mente de alguém. Afirma também
que ela reside em máquinas matemáticas, como réguas de cálculo e caixas
registradoras e até nos genes do girassol.
Outro aspecto importante a ressaltar é o que significa saber
matemática e aprender matemática. Sobre este assunto Bicudo (2004)
comenta que a compreensão e o “fazer matemática” por meio da
participação ativa dos alunos no processo ensino-aprendizagem devem ser
enfatizados.
Partindo-se das afirmações da autora, pertinente a essa discussão, é a
contraposição entre as visões de ensino e educação. Ao discutirem-se
diferentes ênfases dadas às expressões “Ensino de Matemática” e “Educação
Matemática”, percebe-se, que enquanto o Ensino de Matemática preza por
uma visão buscando entender a Matemática como ciência, priorizando a
lógica da matemática, dando ênfase ao ensino clássico e que privilegia
métodos puramente sintéticos, cuja premissa pauta o rigor das
demonstrações matemáticas (Schubring, 2003, apud DCE 2006) a Educação
Matemática apresenta outro enfoque. A Educação Matemática estende a
discussão também à História da Matemática. Considera a realidade do aluno,
leva em conta a aprendizagem não formal, fora da escola e colocando a
matemática a serviço do cidadão. Para Lorenzato e Fiorentini (2001), apud
DCE 2006, a educação matemática é uma área que engloba inúmeros
saberes, na qual apenas o conhecimento da matemática e a experiência de
magistério não garantem competência a qualquer profissional que nela
trabalhe. Configurou-se dessa forma, como um campo de estudo dinâmico e,
portanto em processo de construção.
Entende-se então que a história da matemática contribui para a
construção do conhecimento do aluno e é reconhecida como parte da
Educação Matemática. Dessa forma, ao se trabalhar o conteúdo de
Trigonometria, utilizando-se a história da matemática para contextualizar e
motivar essa aprendizagem passa-se então, a dar-lhe significado, possíveis
aplicações. Dessa maneira oportuniza-se ao aluno maior facilidade em
compreender e utilizar este conteúdo em seu cotidiano.
Nesse sentido Fasanelli (2000 apud Baroni e Bianchi, 2007) comenta
que “a forma como a História da Matemática, pode ser apresentada, com
uma série de pormenores curiosos, pode apurar o interesse dos estudantes
em matemática. A criação de um contexto para introduzir conceitos
matemáticos pode estimular estudantes a pensar”. (p. 26) De acordo com
este autor, os educadores podem promover o caminho de um raciocínio
matemático e o desenvolvimento individual do estudante com a utilização de
recursos históricos, motivando-os e também favorecendo na resolução de
desafios.
Entretanto há estudiosos, conforme salienta Vianna (1998) que
apontam problemas decorrentes ou associados ao uso da história da
matemática e destacam algumas objeções ao seu uso como recurso didático,
dos quais se pode citar: Que o passado da matemática não é significativo
para a compreensão da matemática; Não há literatura disponível para o uso
dos professores sobre o assunto em questão; O caminho histórico é mais
árduo para os estudantes que o caminho lógico. Sob tal enfoque, a história
da trigonometria não traria resultado algum quando trabalhada em sala de
aula e até causaria desmotivação aos estudantes.
Fica evidente que nem todos os autores incentivam a utilização da
história da matemática como forma de facilitar a aquisição dos saberes, ou
como recurso pedagógico. Porém, há outros estudiosos que defendem e
incentivam o uso da história da matemática visto que, para estes autores, há
muito mais argumentos a favor do que contrários a esse uso.
A proposta de trabalho a ser discutida aqui envolve uma tentativa de
se levar em conta aspectos históricos da matemática concernentes à
trigonometria, tendo em vista a escassez de abordagens nessa perspectiva e
também a busca de possíveis soluções para a problemática citada
anteriormente.
Com o intuito de proporcionar ao aprendente uma visão de que a
Matemática tem uma história própria, cronológica, embasada em fatos reais,
propõe-se uma visão panorâmica da cronologia da história da matemática
detendo-se às abordagens inerentes à Trigonometria, pois o campo da
matemática é muito amplo e não seria possível tratá-lo de forma detalhada
no escopo teste trabalho.
Este trabalho se pauta no estudo histórico da Trigonometria em sala
de aula e no desenvolvimento de alguns tópicos e conceitos, por meio de
atividades realizadas com estudantes, dando-se um esboço do histórico
desta ciência, até sua aplicação nos dias atuais.
Atividades propostas
Durante o trabalho de implementação na escola, os alunos das
primeiras séries do ensino médio estiveram constantemente em contato com
a história da matemática. Nas situações em que se utilizou esse instrumento
como estratégia para melhorar o entendimento do conteúdo, embasando-se
nas idéias de Vianna (1998) que a história da matemática pode contribuir
para anular a sensação de ser a matemática uma coisa pronta e acabada, os
alunos demonstraram maior interesse pela história e também pela aula. Esta
constatação está embasada nos relatos orais ou escritos, feitos por
estudantes após a realização das atividades.
Atividade I
Esta atividade foi elaborada a partir do livro “Dando corda na
trigonometria” da série Contando a História da Matemática, do autor Oscar
Guelli. Cada grupo ficou responsável por ler e contar, de maneira informal,
para os colegas, o que constava no capítulo do livro. A leitura e a discussão
ocorreram primeiramente no pequeno grupo e, feito isso, os alunos
expuseram aos demais colegas o conteúdo que leram.
Percebeu-se que alguns alunos se motivaram pelo assunto, buscando
outras fontes de pesquisa, principalmente curiosidades sobre os
matemáticos. Nos relatórios feitos pelos estudantes no final desta atividade,
detectou-se o pouco conhecimento dos alunos por essa face histórica da
matemática, como este, em que de Tales de Mileto calculava a altura de uma
construção, por maior que fosse, sem precisar subir nela ou os cálculos que
deram início à trigonometria, suas aplicação na Astronomia e nas grandes
navegações. Os alunos apreciaram a atividade envolvendo a história da
matemática e da trigonometria e constataram que há possibilidade de
aplicação desses cálculos em situações do seu cotidiano.
Atividade II
O material didático “Salve o Planeta”, descreve sobre um asteróide
que está se aproximando da Terra e, se não for encontrada uma maneira
eficaz para desviá-lo de sua rota, este irá chocar-se com o planeta Terra.
Encontram-se neste material tópicos da história da Trigonometria e situações
em que ela está sendo aplicada atualmente. É possível trabalhar a história, a
geografia e a matemática de maneira interdisciplinar proporcionando a
contextualização do conteúdo trigonometria no triângulo retângulo. O texto
inicial do material relata uma notícia retirada de um site da internet, em que
constava que cientistas acreditavam ter encontrado a solução para evitar o
impacto de um asteróide com a Terra.
Após a leitura, foram feitas discussões sobre o texto e os alunos
sugeriram pesquisas sobre o assunto.
Na pesquisa surgiram questões como “O asteróide poderá destruir a
Terra”; “O asteróide poderá chegar antes do que se imagina” e outras mais.
Na seqüência, foi exibido o filme “Armageddon”. O enredo do filme é sobre
um asteróide que está se aproximando da Terra e poderá chocar-se com ela.
Após o filme e a leitura do texto integrante do material didático, foi
requisitado aos grupos que fizessem reflexões sobre o que leram e
representassem em um cartaz qual a solução que sugeriam para ajudar os
cientistas e, após, apresentassem aos colegas sua opinião. Foram
distribuídas questões para pesquisa, como: Pesquise qual o significado de
NEOS
e Asteróide; Encontre na mitologia grega a história de Apóphis, e
verifique se há relação com o asteróide citado no texto; Você já sabe o que é
Objetos próximos da Terra
10megaton? Descubra quantos “megatons” as Bombas atômicas de Hiroshima
e Nagasaki produziram e qual o efeito para a humanidade. Cada equipe
deveria responder as questões que receberam, e na seqüência expor aos
colegas.
Os alunos expuseram suas idéias de maneira concisa. A
interdisciplinaridade foi contemplada nesta atividade, pois além da
localização das cidades citadas, foram pesquisados assuntos históricos e
geográficos da segunda guerra mundial.
Quando fizeram a leitura do texto, no qual constava que os cientistas
buscavam possíveis soluções para desviar a rota do asteróide, concordaram
que uma das possíveis soluções seria a que foi sugerida pelos estudiosos, a
qual sugeria que de um asteróide próximo ao Apóphis se lançasse um míssil
com objetivo de desviar a rota desse NEOS ameaçador. Essa solução só
poderia ser posta em prática a partir de cálculos que envolvessem a
trigonometria, pois o ângulo que o míssil deveria formar com asteróide, para
desviá-lo do curso, era desconhecido.
Atividade III
A partir do exposto pelos alunos, iniciou-se o trabalho com a história da
trigonometria. Em textos utilizados, encontrou-se que os estudos
trigonométricos não surgiram por acaso, mas para solucionar problemas
enfrentados pela humanidade de certa época. Um texto referente à história
da matemática foi repassado aos grupos para que fizessem a leitura e o
comentassem.
Utilizando o laboratório de informática e os livros disponíveis sobre o
assunto, os alunos pesquisaram mais sobre alguns matemáticos,
previamente selecionados, investigando algo curioso sobre eles.
O interesse que demonstraram pela história dos matemáticos e
também da trigonometria tornou-se evidente. Cada grupo apresentou para
os colegas os resultados da pesquisa que fizeram. Após citarem os vários
instrumentos antigos de navegação, como: sextante, quadrante estrela polar
armilha náutica, entre outros encontrados, comentaram que o que mais
despertou surpresa foi o fato de existir uma mulher na história, ser filósofa,
matemática e principalmente ter inventado um instrumento. Houve grande
interesse em descobrir mais sobre Hipatia de Alexandria e além de saber que
o astrolábio, o planisfério e o hidrômetro foram invenções dela, partiu-se
para uma discussão sobre o espaço da mulher na sociedade antiga e atual.
Esse assunto oportunizou a interdisciplinaridade e um maior interesse no
tema tratado.
Atividade IV
Um teodolito foi construído pelos alunos a partir de recipientes
descartáveis, arame, linha e transferidor de 360 graus, conforme figura 01.
Fizeram experimentações e perceberam que, para medir a altura da escola
ou a altura do asteróide, necessitavam de maior conhecimento. Fizeram
suposições de que, não era possível fazer tais medições sem usar fita
métrica. Nesta atividade houve interesse especial na forma de medir ângulos
com o teodolito. Várias tentativas foram feitas, com diferentes teodolitos.
Surgiu então a necessidade de expor um pouco mais da história da
trigonometria e sobre Ptolomeu, na qual consta, de acordo com Boyer (1996)
que do mundo grego, a Trigonometria passou para aos hindus e para os
árabes. Coube a Ptolomeu, por meio de sua obra trigonométrica, a mais
significativa da antiguidade, Syntaxis matemática, chamada mais tarde de
Almagesto (“o maior”) associar valores numéricos às cordas. Com suas
fórmulas para cordas de somas e diferenças de arcos de corda de metade de
um arco, Ptolomeu estava preparado para construir uma tabela de cordas,
pois as razões trigonométricas que utilizava eram equivalentes às utilizadas
atualmente.
Atividade V
Com o conhecimento da história, os alunos construíram uma tábua
trigonométrica, efetuando cálculos com triângulos retângulos, sendo que um
dos ângulos agudos deveria medir inicialmente 10°; no triângulo retângulo
seguinte, 20° e assim sucessivamente até 80°, conforme figuras 2, 3 e 4.
1415
Os alunos observaram, por meio de seus desenhos, que, independente
dos triângulos, as razões entre os lados do triângulo se mantinham
constantes, se considerado o mesmo ângulo. As possíveis diferenças
observadas deviam-se a imprecisões nas medições e ao arredondamento dos
números obtidos. Destacou-se então que as razões encontradas são tão
importantes que os matemáticos lhes atribuíram nomes especiais: seno, coseno e tangente, respectivamente. Na seqüência, os alunos demonstraram
as razões trigonométricas (fig. 05) utilizando-se de seus desenhos anteriores
e auxílio do professor.
Após a conclusão desta etapa do trabalho, foi possível trabalhar com
o teodolito, o qual possibilitou que os alunos medissem os ângulos para
resolverem as atividades propostas.
Atividade VI
Utilizando o teodolito, construído anteriormente pelos alunos, cada
grupo deveria medir os ângulos necessários para resolução de problemas
elaborados na sua equipe. O objetivo desta atividade era calcular a altura de
objetos escolhidos pelos alunos, como poste, escola, muro, igreja etc. A
sugestão dada foi que fizessem uso das razões trigonométricas já estudadas
e como encerramento, demonstrar aos colegas sua atividade.
Um dos problemas utilizados para análise foi: “A garagem da escola
está caindo e precisamos evitar isso. Para isso é colocada uma escora,
precisamos descobrir quanto ela deverá medir.” Os estudantes
desenvolveram os cálculos e mediram o ângulo com o teodolito, porém
esqueceram de medir a altura da garagem e estavam somente com a
medida da distância do observador até a garagem, 6 metros, e o ângulo de
10°. Fazendo conjecturas, levantando várias hipóteses, decidiram fazer tudo
novamente, pois havia algum erro. Perceberam que faltava a medida da
altura da garagem, que era de 2,05m. Descobriram que este
problema resolvia-se trabalhando com o co-seno, pois a distância do
observador era o cateto adjacente ao ângulo de 10° e a escora era a
hipotenusa, portanto o valor da altura tornou-se desnecessário. Resolveram
fazer os cálculos novamente e aplicaram seno, e tangente também para,
dessa maneira, comprovarem a resolução do problema. Como os resultados
não foram satisfatórios, mediram novamente e chegaram à conclusão de que
o ângulo medido não era 10° e sim 19°. Refizeram os cálculos e obtiveram
6,34m para comprimento da escora. Este grupo fez a comprovação por meio
da tangente de 19°, obtendo dessa forma a confirmação de que o cálculo
estava correto. Ao final do trabalho os alunos concluíram que em qualquer
das situações provenientes desse problema, dependendo do lado em que se
apresenta o valor numérico no triângulo retângulo, seja o cateto adjacente,
cateto oposto ou hipotenusa, é possível utilizar qualquer das razões
trigonométricas.
Após comentários sobre os problemas, questionou-se como a
trigonometria seria usada para auxiliar na destruição do asteróide. Observouse que, na atualidade, encontram-se aplicações para a trigonometria nas
telecomunicações, na música, na determinação de distâncias entre estrelas e
planetas, na Medicina, na Física, na Sociologia, na Engenharia, na Mecânica,
na Eletricidade, e em muitas outras áreas científicas. Como tal, o seu estudo
é indispensável para engenheiros, físicos e praticamente para todos os
cientistas. Dessa forma também poderia auxiliar, por meio de conhecimentos
científicos, a destruição do asteróide e consequentemente, ajudaria a salvar
o planeta. Tendo tomado conhecimento de algumas aplicações históricas da
Trigonometria, retornou-se ao problema inicial para tentar encontrar uma
solução para ele.
Quando perguntados sobre como desviar o Neos, cada aluno pensou de
uma forma diferente, mas buscando uma mesma solução. Portanto a
sistematização do problema e a representação geométrica auxiliaram no
entendimento e no cálculo da atividade, para que de uma maneira uniforme
fosse possível encontrar uma solução.
Atividade VII
O problema proposto inicialmente versava sobre um NEOS que está
localizado a 35.000 km de distância da Terra, em linha reta. Para evitar uma
colisão com o planeta esse objeto terá que ser desviado da sua rota. Para
isto será utilizado um míssil. Sabendo que o alcance do míssil é de 160 km e
que este precisará ser lançado de um asteróide próximo ao NEOS formando
com ele e com a Terra um ângulo de 90°, calcule qual o ângulo que o míssil
deverá formar com o NEOS quando atingi-lo para desviá-lo da rota da terra.
A leitura foi feita pelos grupos de alunos, alguns tentaram desenhar
um esboço do triângulo e registrar as medidas. Os estudantes tiveram
dificuldade para representar geometricamente a situação. Com auxílio do
professor, fazendo uso de régua e transferidor os alunos conseguiram fazer o
desenho, porém a dificuldade continuava. Não conseguiam imaginar por que,
quando feito com os ângulos corretos este triângulo não fechava os 3 lados.
Acontece que o míssil forma com a Terra e com o NEOS um ângulo de 90°.
Calculando-se então obtém-se um ângulo de aproximadamente 89° para o
míssil atingir o Neos. A distância da Terra ao NEOS é de 35.000 km, e,
portanto, dá a idéia de que não formará um triângulo, quando feito com os
ângulos corretos.
Depois de discussão, os alunos chegaram ao consenso de que, se for
necessário destruir realmente este NEOS, uma das alternativas é essa, que
foi sugerida pelos cientistas, a qual consiste em lançar o míssil e desviar a
rota do asteróide. Concluíram também que, essa possível solução passaria
pela trigonometria, porém envolveria muitos outros cálculos e tecnologias.
Na aula seguinte, os alunos receberam um texto, no qual constava:
Quando Tales de Mileto, filósofo e grande matemático grego, considerado pai
da Geometria demonstrativa (c.546 a.C.), mediu a altura da Pirâmide de
Quéops sem escalá-la, ele fez uso da sombra da pirâmide provocada pelos
raios de sol e de uma grande idéia, idéia de razão. Tales sabia que a razão
entre os lados correspondentes de dois triângulos semelhantes era a mesma.
Somente depois de passados muitos anos é que se iniciaram os cálculos
utilizando-se as razões trigonométricas. Essas razões se tornaram
fundamentais na resolução de problemas de topografia, Astronomia e Física,
ou problemas atuais. (EVES, 2004)
Sabe-se da aplicação da trigonometria em várias profissões, para
exemplificar isso foi problematizada uma situação simples de uso na
Engenharia.
Atividade VIII
A atividade proposta proporciona a contextualização e consiste em
saber que o ângulo de inclinação de um telhado depende do tipo de
cobertura, e que os carpinteiros usam esta linguagem: “Num telhado com
inclinação de 40%, avançando 1 m na horizontal, sobe-se na vertical 40% de
1 m, isto é, 0,40 m ou 40 cm”. Supondo que a inclinação do telhado é de
40%, cada grupo deveria responder as questões determinadas pela
atividade. (IMENES & LELIS, 1999),
Para os alunos esta questão envolveu conhecimentos anteriores e a
dificuldade foi interpretar o problema e encontrar a porcentagem pedida. A
tangente foi encontrada com facilidade, o ângulo de inclinação foi
encontrado usando-se a tabela de senos ou calculadora científica, depois do
cálculo da tangente estar concluído. Em seus relatórios, os alunos
comentaram ignorar que se utilizava a trigonometria para construções, ou
que tivesse qualquer aplicação concreta. A facilidade para resolver este
problema foi decorrente de terem trabalhado anteriormente com as relações
trigonométricas, “mostrando que a matemática não é feita só de números,
mas também de gente e objetos interessantes”, como disse um aluno ao
referir-se à dificuldade em aprender matemática sem contextualização.
Para dar seqüência no trabalho, os grupos receberam o texto histórico
sobre como medir o raio da terra. Nesse texto constava que foi Eratóstenes
22(276-196 a.C.), sábio de Alexandria, quem fez o cálculo do raio da Terra mais
célebre da antiguidade. Explicava que era sabido que quando o Sol se
encontrava mais ao norte (solstício de inverno para nós, habitantes do
hemisfério Sul) os raios solares caíam verticalmente, ao meio dia, na
localidade de Siena, hoje Assuan (Egito). Ao mesmo tempo, em Alexandria,
os raios solares caiam inclinadamente, fazendo um ângulo aproximado de 7º
com a vertical, ou seja, 1/50 do comprimento do meridiano terrestre, que é
de 360º. Sabendo que os raios do sol vindos de grandes distâncias parecem
paralelos ou comportam-se como se fossem, Erastótenes concluiu que os
raios que ligam as extremidades de um arco de 800 km ao centro da Terra,
formam um ângulo de 7º aproximadamente, conforme a figura demonstrada
abaixo. ( GUELLI, 1998)( GARBI, 2006)
Sabe-se que ele chegou muito próximo do valor atual que é
encontrado em algumas enciclopédias.
Atividade IX
Na seqüência, foi sugerido aos grupos que fizessem seus cálculos,
usando a trigonometria e encontrassem qual é o valor do raio da Terra,
comparassem com o valor atual e com o calculado por Eratóstenes, que foi
de 7365 km. Sugeriu-se que utilizassem o desenho acima.
Nessa atividade os alunos constataram que, nas condições
rudimentares em que Eratóstenes fez seus cálculos, sem o uso de
tecnologias, ele obteve um valor muito próximo do atual, feito com
instrumentos precisos. É oportuno destacar também que os alunos
perceberam que, nos cálculos feitos por eles, em que utilizaram o raciocínio
de Eratóstenes, repassado por meio de textos históricos, também
conseguiram a aproximação do valor atual do raio da Terra.
Considerações finais
Da necessidade de possibilitar soluções para despertar o interesse do
aluno pelo conteúdo trigonometria, várias estratégias foram utilizadas, com
diferentes enfoques para motivar o aluno a aprender e buscar o
conhecimento. Uma possibilidade foi trazer o conteúdo trigonometria à luz da
história, oportunizando que os conhecimentos adquiridos e acumulados pela
humanidade durante anos possam contribuir como recurso pedagógico. A
facilidade com que a história da matemática proporciona a contextualização
e a interdisciplinaridade auxilia o professor em seu fazer pedagógico e da
mesma maneira incentiva o aluno a buscar conhecimento. Os estudantes,
por várias vezes comentaram o quanto é importante a história da
matemática na busca de soluções para os problemas que lhes são
apresentados. De acordo com os alunos, por essa via torna-se possível o
entendimento dos conteúdos que hoje são repassados por alguns livros
didáticos como fato casual, estático, desprovido de um comentário histórico.
Portanto, percebe-se um maior interesse dos alunos pelo conteúdo nos
momentos em que fatos históricos lhes foram apresentados. Sobre isso
comenta Vianna (1998), que há defensores da utilização didática da história
da matemática e estes estabelecem que o tema é de interesse
contemporâneo. Este tema, história da matemática como recurso
pedagógico, tem despertado grande interesse e por esse motivo houve uma
série de publicações de livros “paradidáticos” nos quais os elementos
históricos são abundantes.
Ainda a favor do uso didático da história da matemática Struik (apud
Vianna 1998) afirma que a história pode ser usada para atrair a atenção das
pessoas, dos alunos para a matemática e, no caso aqui visto, para a
trigonometria. Isso pode ser feito de duas maneiras: conhecendo-se a origem
de determinado assunto ou os motivos que possibilitaram certos nomes para
alguns elementos da matemática, como por exemplo, “seno” ou outra para
atrair a atenção de quem está estudando. Algumas vezes são citados nomes
de matemáticos famosos, salientando sua contribuição para o conhecimento
humano. Tudo isso pode até não ser de aspecto tão relevante, mas a
oportunidade que o estudante tem de entrar em contato com o
conhecimento, com o trabalho de matemáticos de destaque, algumas
curiosidades sobre suas personalidades e suas teorias. Isso faz com que o
aluno se sinta mais próximo dessa ciência que por muito tempo foi tratada
como inacessível endeusada e elitizada. Esta certamente é uma das
maneiras de conhecer como os conceitos matemáticos se originaram e se
desenvolveram.
D’Ambrosio (1996), destaca para quem e para que serve a História da
Matemática. Expõe que a Matemática é útil para professores, alunos, pais e
público em geral. Mas e para quê? Para situar a Matemática como a cultura
de um povo nas diferentes épocas, como uma manifestação étnica, que
contemple os costumes, os valores, as crenças e hábitos dessa população.
Mostra ainda que a matemática escolar não é a única maneira de se
25conhecer essa Ciência. Há muitas outras formas de matemática e que foram
desenvolvidas pela humanidade durante muitos anos, desde os primórdios
da civilização e que hoje continua auxiliando o mundo em seu
desenvolvimento científico, tecnológico e econômico.
Concorda-se aqui com o que Struik (apud Vianna, 1998) descreve
sobre a necessidade de se olhar para a Matemática colocada em um
horizonte mais amplo como apenas uma das muitas formas de ciência,
apenas um tipo de manifestação cultural ou de atividade humana em geral.
Aí identifica-se a necessidade de se observar a matemática em seu contexto
social, buscando responder, a cada momento, à questão: “qual a relação
entre a sociedade e a matemática do passado?”. Entende-se dessa forma a
herança cultural por meio das relações da matemática com a astronomia, a
física e também as artes, a música, a religião a filosofia e as técnicas
artesanais. Além de tudo há também a possibilidade de oferecer um pano de
fundo para a compreensão das tendências da Educação Matemática, além de
ilustrar e tornar mais interessante o desenvolvimento dos cálculos
matemáticos.
Cabe aqui sugerir que os professores da rede pública aproveitem essa
possibilidade de encontrar caminhos que possam tornar mais agradável e
cativante a aquisição de novos conhecimentos dentro da disciplina de
Matemática, utilizando-se desse importante recurso pedagógico que é a
história da matemática, entrelaçada à história da humanidade.
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professores: Historia da matemática em livros didáticos. (org.) Edilson
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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO. Diretrizes Curriculares da Rede
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